अपसारी श्रेणी

अभिसरण श्रृंखला

श्रृंखला के लिए उपयोग किया जाता है, और, यदि यह अभिसरण है, तो इसके योग के लिए। यह परिपाटी उसी के समान है जिसका उपयोग जोड़ के लिए किया जाता है: a + b a और b जोड़ने के संचालन के साथ-साथ इस जोड़ के परिणाम को दर्शाता है , जिसे a और b का योग कहा जाता है ।

कोई भी श्रृंखला जो अभिसारी नहीं है उसे अपसारी या अपसारी कहा जाता है ।

व्युत्क्रम एक अपसारी श्रेणी ( हार्मोनिक श्रेणी ) उत्पन्न करते हैं : 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ⋯ → ∞ . ++++++\cdots \rightarrow \ इन्फ्टी।>
• धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रम के संकेतों को बारी-बारी से एक अभिसरण श्रृंखला ( बारी-बारी से हार्मोनिक श्रृंखला ) का निर्माण होता है: 1 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 अपसारी श्रेणी अपसारी श्रेणी + 1 5 - ⋯ = एलएन ⁡ ( 2 ) -+-+-\cdots =\ln(2)> व्युत्क्रम एक भिन्न श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (इसलिए अभाज्य संख्याओं का समूह " बड़ा " होता है; अभाज्य संख्याओंके व्युत्क्रमों के योग का विचलन देखें ): 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 अपसारी श्रेणी 7 + 1 1 1 + 1 १३ + ⋯ → ∞ . <\displaystyle ++++++\cdots \rightarrow \ इन्फ्टी।> व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला का निर्माण करते हैं: 1 1 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 1 15 + 1 21 + ⋯ = 2. ++++++\cdots =2. > व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (देखें ई ): 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 १२० + ⋯ = इ . >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+\cdots =e.> व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला ( बेसल समस्या ) उत्पन्न करते हैं : 1 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + ⋯ = π 2 6 . ++++++\cdots = <\ पाई ^\ओवर 6>.> की शक्तियों के पारस्परिक एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (इसलिए 2 की शक्तियों का सेट " छोटा " है): 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + ⋯ = 2. ++++++\cdots =2. > की शक्तियों का पारस्परिक एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करता है: 1 1 + 1 नहीं + 1 नहीं 2 + 1 नहीं 3 + 1 नहीं 4 + 1 नहीं 5 + ⋯ = नहीं नहीं - 1 . ++<1 \over n^>+>+>+ >+\cdots =।> की शक्तियों के पारस्परिक संकेतों को बदलने से एक अभिसरण श्रृंखला भी बनती अपसारी श्रेणी है: 1 1 - 1 2 + 1 4 - 1 8 + 1 16 - 1 32 + ⋯ = 2 3 . -+-+-+\cdots =।>
• किसी भी n>1 की शक्तियों के पारस्परिक संकेतों को बदलने से एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न होती है: 1 1 - 1 नहीं + 1 नहीं 2 - 1 नहीं 3 + 1 नहीं 4 - 1 नहीं 5 + ⋯ = नहीं नहीं + 1 . -+<1 \over n^>->+>- >+\cdots =।>
• के reciprocals फिबोनैकी संख्या एक संसृत श्रृंखला का उत्पादन (देखें ψ ): 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 8 + ⋯ = ψ . >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+\cdots =\psi .>

यह निर्धारित करने के कई तरीके हैं कि कोई श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है या नहीं ।

यदि r r > 1 हो, तो श्रेणी अपसारी हो जाती है। यदि r अपसारी श्रेणी = 1, अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है, और श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है।

रूट टेस्ट या n वें रूट टेस्ट । मान लीजिए कि प्रश्न में अनुक्रम की शर्तें गैर-ऋणात्मक हैं । आर को इस प्रकारपरिभाषित करें:

यदि r r > 1 हो, तो श्रेणी अपसारी हो जाती है। यदि r = 1, मूल परीक्षण अनिर्णायक है, और श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है।

अनुपात परीक्षण और मूल परीक्षण दोनों एक ज्यामितीय श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित हैं, और इस तरह वे समान स्थितियों में काम करते हैं। वास्तव में, यदि अनुपात परीक्षण काम करता है (जिसका अर्थ है कि सीमा मौजूद है और 1 के बराबर नहीं है) तो मूल परीक्षण भी करता है; हालांकि, बातचीत सच नहीं है। इसलिए मूल परीक्षण अधिक सामान्यतः लागू होता है, लेकिन एक व्यावहारिक मामले के रूप में आमतौर पर देखी जाने वाली श्रृंखलाओं के लिए सीमा की गणना करना मुश्किल होता है।

अभिन्न परीक्षण । श्रृंखला की तुलना अभिसरण या विचलन स्थापित करने के लिए एक अभिन्न से की जा सकती है। लश्कर एफ ( नहीं ) = ए नहीं > एक सकारात्मक और नीरस रूप से घटते कार्य हो । अगर

फिर श्रृंखला अभिसरण करती है। लेकिन अगर अभिन्न विचलन करता है, तो श्रृंखला भी ऐसा ही करती है।

डिरिचलेट का परीक्षण

हाबिल का परीक्षण

Riemann श्रृंखला प्रमेय कहा गया है कि यदि एक श्रृंखला और converges सशर्त, यह इस तरह से श्रृंखला के मामले को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए संभव है कि किसी भी मूल्य, या यहाँ तक diverges के लिए श्रृंखला जोड़ देता है।

f में समान रूप से अभिसरण करता है ।

कार्यों की अनंत श्रृंखला के लिए तुलना परीक्षण का एक एनालॉग है जिसे वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट कहा जाता है ।

अभिसरण श्रृंखला

श्रृंखला के लिए उपयोग किया जाता है, और, यदि यह अभिसरण है, तो इसके योग के लिए। यह परिपाटी उसी के समान है जिसका उपयोग जोड़ के लिए किया जाता है: a + b a और b जोड़ने के संचालन के साथ-साथ इस जोड़ के परिणाम को दर्शाता है , जिसे a और b का योग कहा जाता है ।

कोई भी श्रृंखला जो अभिसारी नहीं है उसे अपसारी या अपसारी कहा जाता है ।

व्युत्क्रम एक अपसारी श्रेणी ( हार्मोनिक श्रेणी ) उत्पन्न करते हैं : 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ⋯ → ∞ . ++++++\cdots \rightarrow \ इन्फ्टी।>
• धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रम के संकेतों को बारी-बारी से एक अभिसरण श्रृंखला ( बारी-बारी से हार्मोनिक श्रृंखला ) का निर्माण होता है: 1 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = एलएन ⁡ ( 2 ) -+-+-\cdots =\ln(2)> व्युत्क्रम एक भिन्न श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (इसलिए अभाज्य संख्याओं का समूह " बड़ा " होता है; अभाज्य संख्याओंके व्युत्क्रमों के योग का विचलन देखें ): 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 1 1 + 1 १३ + ⋯ → ∞ . <\displaystyle ++++++\cdots \rightarrow \ इन्फ्टी।> व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला का निर्माण करते हैं: 1 1 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 1 15 + 1 21 + ⋯ = 2. ++++++\cdots =2. > व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (देखें ई ): 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 १२० + ⋯ = इ . >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+\cdots अपसारी श्रेणी =e.> व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला ( बेसल समस्या ) उत्पन्न करते हैं : 1 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + ⋯ = π 2 6 . ++++++\cdots = <\ पाई ^\ओवर 6>.> की शक्तियों के पारस्परिक एक अभिसरण श्रृंखला अपसारी श्रेणी उत्पन्न करते हैं (इसलिए 2 की शक्तियों का सेट " छोटा " है): 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + ⋯ = 2. ++++++\cdots =2. > की शक्तियों का पारस्परिक एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करता है: 1 1 + 1 नहीं + 1 नहीं 2 + 1 नहीं 3 + 1 नहीं 4 + 1 नहीं 5 + ⋯ = नहीं नहीं - 1 . ++<1 \over n^>+>+>+ >+\cdots =।> की शक्तियों के पारस्परिक संकेतों को बदलने से एक अभिसरण श्रृंखला भी बनती है: 1 1 - 1 2 + 1 4 - 1 8 + 1 16 - 1 32 + ⋯ = 2 3 . -+-+-+\cdots =।>
• किसी भी n>1 की शक्तियों के पारस्परिक संकेतों को बदलने से एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न होती है: 1 1 - 1 नहीं + 1 नहीं 2 - 1 नहीं 3 + 1 नहीं 4 - 1 नहीं 5 + ⋯ = नहीं नहीं + 1 . -+<1 \over n^>->+>- >+\cdots =।>
• के reciprocals फिबोनैकी संख्या एक संसृत श्रृंखला का उत्पादन (देखें ψ ): 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 8 + ⋯ = ψ . >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+<\frac >+\cdots =\psi .>

यह निर्धारित करने के कई तरीके हैं कि कोई श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है या नहीं ।

यदि r r > 1 हो, तो श्रेणी अपसारी हो जाती है। यदि r = 1, अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है, और श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है।

रूट टेस्ट या n वें रूट टेस्ट । मान लीजिए कि प्रश्न में अनुक्रम की शर्तें गैर-ऋणात्मक हैं । आर को इस प्रकारपरिभाषित करें:

यदि r r > 1 हो, तो श्रेणी अपसारी हो जाती है। यदि r = 1, मूल परीक्षण अनिर्णायक है, और श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है।

अनुपात परीक्षण और मूल परीक्षण दोनों एक ज्यामितीय श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित हैं, और इस तरह वे समान स्थितियों में काम करते हैं। वास्तव में, यदि अनुपात परीक्षण काम करता है (जिसका अर्थ है कि सीमा मौजूद है और 1 के बराबर नहीं है) तो मूल परीक्षण भी करता है; हालांकि, बातचीत सच नहीं है। इसलिए मूल परीक्षण अधिक सामान्यतः लागू होता है, लेकिन एक व्यावहारिक मामले के रूप में आमतौर पर देखी जाने वाली श्रृंखलाओं के लिए सीमा की गणना करना मुश्किल होता है।

अभिन्न परीक्षण । श्रृंखला की तुलना अभिसरण या विचलन स्थापित करने के लिए एक अभिन्न से की जा सकती है। लश्कर एफ ( नहीं ) = ए नहीं > एक सकारात्मक और नीरस रूप से घटते कार्य हो । अगर

फिर श्रृंखला अभिसरण करती है। लेकिन अगर अभिन्न विचलन करता है, तो श्रृंखला भी ऐसा ही करती है।

डिरिचलेट का परीक्षण

हाबिल का परीक्षण

Riemann श्रृंखला प्रमेय कहा गया है कि यदि एक श्रृंखला और converges सशर्त, यह इस तरह से श्रृंखला के मामले को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए संभव है कि किसी भी मूल्य, या यहाँ तक diverges के लिए श्रृंखला जोड़ देता है।

f में समान रूप से अभिसरण करता है ।

कार्यों की अनंत श्रृंखला के लिए तुलना परीक्षण का एक एनालॉग है जिसे वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट कहा जाता है ।

अपसारी श्रेणी

In order to obtain a translation of any word of the story from the dictionary, simply click on it!
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This facility is meant to allow users to familiarize with the Devanagari script and its standard transliterations (HK and IAST) as well as with the basics of (external) Sandhi . Both ASCII input and Unicode are supported.

HK (ASCII):

Devanagari:

IAST:

अ a	आ aa,A	इ i	ई ii,I	उ u	ऊ uu,U
ऋ R	ॠ RR	लृ lR	ॡ lRR
ए e	ऐ ai	ओ o	औ au	अं aM	अः aH
क ka	ख kha	ग ga	घ gha	ङ Ga
च ca	छ cha	ज ja	झ jha	ञ Ja
ट Ta	ठ Tha	ड Da	ढ Dha	ण Na
त ta	थ tha	द da	ध dha	न na
प pa	फ pha	ब ba	भ bha	म ma
य ya	र ra	ल la	व va	क्ष kScd
श za,sha	ष Sa,shha	स sa	ह ha	ऽ 'a	ज्ञ jJ

Here randomly selected sentences are displayed.

Clicking on any Sanskrit word will display possible translations int English. "BV" marks Basic Vocabulary.
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अपसारी श्रेणी

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अ a	आ aa,A	इ i	ई ii,I	उ u	ऊ uu,U
ऋ R	ॠ RR	लृ lR	ॡ lRR
ए e	ऐ ai	ओ o	औ au	अं aM	अः aH
क ka	ख kha	ग ga	घ gha	ङ Ga
च ca	छ cha	ज ja	झ jha	ञ Ja
ट Ta	ठ Tha	ड Da	ढ Dha	ण Na
त ta	थ tha	द da	ध dha	न na
प pa	फ pha	ब ba	भ bha	म ma
य ya	र ra	ल la	व va	क्ष kScd
श za,sha	ष Sa,shha	स sa	ह ha	ऽ 'a	ज्ञ jJ

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दो लेंसों के अभिसारी अवर्णक युग्म की क्षमता + 2D है, अभिसारी लेंस की क्षमता + 5D है, अभिसारी और अपसारी लेंसों
की वर्ण विक्षेपण क्षमताओं का अनुपात होगा-
​

माना Sn = a1+. +an इस श्रेणी के प्रथम पदों n पदों का योग है। यदि n के अनन्त की ओर अग्रसर होने पर Sn एक परिमित सीमा S की ओर अग्रसर हो, तो श्रेणी 'S की ओर अभिसारित' (converge) कही जाती है तथा S 'श्रेणी का योग' कहलाता है।

उदाहरण के लिये, श्रेणी 1 - 1 + 1 - 1 +. के लिए n के सम या विषम होने के अनुसार Sn = 0 या 1 है। अत: यह श्रेणी परिमित रूप से दोलित है। श्रेणी 1 - 2 + 3 - 4 +. के लिए S2n = n, S2n-1 = n है और यह श्रेणी अनंत रूप से दोलन करती है।

अत: किसी श्रेणी का अभिसरण, या अपसरण अपूर्ण योगों के अनुक्रम के अभिसरण, या अपसरण, पर निर्भर होता है। सामान्यत: जो श्रेणी अभिसारित नहीं होती, वह अपसारित कही जाती है। गुणोत्तर श्रेणी 1 + r + r2 + . के लिए Sn = (1 - rn) / (1 - r) यदि |r| < 1 ; तथा Sn = n यदि r = 1 है। यदि। r।

कुछ अभिसारी/अपसारी श्रेणियाँ

धनात्मक पूर्णांकों का व्युत्क्रम से अपसारी श्रेणी (हरात्मक श्रेणी) प्राप्त होती है:

अभिसरण परीक्षा

मुख्य लेख: अभिसरण परीक्षण

S के लिए निश्चित व्यंजक ज्ञात करना सदैव सरल नहीं है। अत: हम यह जानने के लिए कि कोई विशिष्ट श्रेणी अभिसारी है या नहीं, अभिसारी और अपसारी की परीक्षाविधियों का प्रयोग करते हैं। यदि कोई श्रेणी केवल धनात्मक पदों से बनी है, तो किसी पद के उपरांत एक वृद्धिमय अनुक्रम होगा और ऐसे वृद्धिमय अनुक्रम के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त अनुबंध यह है कि यह परिमित हो, अर्थात्‌ एक ऐसी अचर राशि K का अस्तित्व हो कि n के समस्त मानों के लिए Sn < K हो। धनात्मक पदोंवाली श्रेणी के अभिसरण परीक्षण की विधियाँ निम्नलिखित हैं :